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As a quick introduction to Bayesian analysis, we use an example, described in Hoff (2009, 3),
of estimating the prevalence of a rare infectious disease in a small city. A small random sample of
20 subjects from the city will be checked for infection. The parameter of interest  2 [0; 1] is the
fraction of infected individuals in the city. Outcome y records the number of infected individuals in
the sample. A reasonable sampling model for y is a binomial model: yj  Binomial(20; ). Based
on the studies from other comparable cities, the infection rate ranged between 0.05 and 0.20, with
an average prevalence of 0.10. To use this information, we must conduct Bayesian analysis. This
information can be incorporated into a Bayesian model with a prior distribution for , which assigns
a large probability between 0.05 and 0.20, with the expected value of  close to 0.10. One potential
prior that satisfies this condition is a Beta(2; 20) prior with the expected value of 2=(2+20) = 0.09.
So, let’s assume this prior for the infection rate , that is,   Beta(2; 20). We sample individuals
and observe none who have an infection, that is, y = 0. This value is not that uncommon for a small
sample and a rare disease. For example, for a true rate  = 0.05, the probability of observing 0
infections in a sample of 20 individuals is about 36% according to the binomial distribution. So, our
Bayesian model can be defined as follows:

Advantages and disadvantages of Bayesian analysis
Bayesian analysis is a powerful analytical tool for statistical modeling, interpretation of results,
and prediction of data. It can be used when there are no standard frequentist methods available or
the existing frequentist methods fail. However, one should be aware of both the advantages and
disadvantages of Bayesian analysis before applying it to a specific problem.
The universality of the Bayesian approach is probably its main methodological advantage to the
traditional frequentist approach. Bayesian inference is based on a single rule of probability, the Bayes
rule, which is applied to all parametric models. This makes the Bayesian approach universal and
greatly facilitates its application and interpretation. The frequentist approach, however, relies on a
variety of estimation methods designed for specific statistical problems and models. Often, inferential
methods designed for one class of problems cannot be applied to another class of models.

讲座主题：因果推断: 内生性问题与工具变量法
讲座时间：5月19日15:00-16:00
讲座概述：因果推断模型与方法是现代社会科学研究者利用计量模型发表高水平实证论文的核心利器。其中，工具变量法则举足轻重，是计量研究中无法避开的挑战之一。此专题就内生性问题与解决路径、工具变量选择的方法及分类、工具变量的检验及工具变量回归模型（2SLS+GMM）等进行专题讨论，探讨工具变量法的基本思想、原理、模型、方法及适用范围，并以真实数据为演示案例，分享因果推断的思辨、工具变量回归模型的构建、应用及结果解读的路径，为发表高水平的实证研究论文奠定基础。

Frequentist analysis is entirely data-driven and strongly depends on whether or not the data
assumptions required by the model are met. On the other hand, Bayesian analysis provides a more
robust estimation approach by using not only the data at hand but also some existing information or
knowledge about model parameters.
In frequentist statistics, estimators are used to approximate the true values of the unknown parameters,
whereas Bayesian statistics provides an entire distribution of the parameters. In our example of a
prevalence of an infectious disease from What is Bayesian analysis?, frequentist analysis produced one
point estimate for the prevalence, whereas Bayesian analysis estimated the entire posterior distribution
of the prevalence based on a given sample.
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