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where ul(r,El) is the (at the origin) regular solution of the radial Schroedinger equation for energy El (chosen normally at the center of the corresponding band with l-like character) and the spherical part of the potential inside sphere t $\dot u_l(r,E_l)$ is the energy derivative of ul taken at the same energy El. A linear combination of these two functions constitute the linearization of the radial function; the coefficients Alm and Blm are functions of kn (see below) determined by requiring that this basis function matches (in value and slope) the corresponding basis function of the interstitial region; $u_l$ and $\dot u_l$ are obtained by numerical integration of the radial Schroedinger equation on a radial mesh inside the sphere.

The APW+lo method
Sjöstedt, Nordström and Singh (2000) have shown that the standard LAPW method with the additional constraint on the PWs of matching in value AND slope to the solution inside the sphere is not the most efficient way to linearize Slater's APW method. It can be made much more efficient when one uses the standard APW basis, but of course with ul(r,El) at a fixed energy El in order to keep the linear eigenvalue problem. One then adds a new local orbital (lo) to have enough variational flexibility in the radial basisfunctions:

and the coefficients cn are determined by the Rayleigh-Ritz variational principle. The convergence of this basis set is controlled by a cutoff parameter RmtKmax= 6 - 9, where Rmt is the smallest atomic sphere radius in the unit cell and Kmax is the magnitude of the largest K vector.

The Fermi energy and the weights of each band state can be calculated using a modified tetrahedron method (Bloechl et al. 94), a Gaussian or a temperature broadening scheme.
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